Как вычислительная математика решает прикладные задачи

Материал из ЗапоВики

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Во многих прикладных задачах искомым результатом является не одно число, а целая функция на отрезке. А как описать произвольную функцию на компьютере? Самый простой способ — это хранить значения функции в нескольких точках и «в уме» соединять их гладкой кривой. Таким образом, отрезок может рассматриваться как система нескольких выбранных точек , а непрерывная функция — как набор значений функции в этих точках. Очень важный объект — производная функции в точке — характеризует угол наклона прямой, касающейся графика функции. Вместо него приходится использовать отношение , где и ближайшие к выбранные точки. При решении задач на компьютерах приходится приближать не только числа, но и сами задачи несколько «округлять» и вместо идеальных непрерывных объектов рассматривать их дискретные приближения. Этот вынужденный шаг называется аппроксимацией задачи. Как узнать, насколько адекватные результаты даёт компьютерная модель, которую вы построили, или, как принято говорить у вычислительных математиков, имеется ли сходимость решения модели к решению исходной «непрерывной» задачи? Кроме ряда сложных и красивых теорем, есть несколько простых хитростей, которые позволяют определить адекватность вашей модели:

Точность вычислений

В машинных вычислениях всегда присутствует машинная погрешность, о чём уже упоминалось. И прежде чем верить результатам, полученным на компьютере, попробуйте увеличить точность всех расчетов на пару разрядов. Если это изменит результат в предыдущих знаках, значит, вычисления проводились с недостаточной точностью и нужно использовать более точные типы для представления чисел (например, в языке Си float заменить на double, а в языке Паскаль тип real заменить на extended).

Обусловленность

В вычислительной практике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется плохо обусловленной, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения. Измерить эту обусловленность на практике очень просто. Нужно просто попробовать чуть-чуть поменять входные данные и посмотреть, как меняется результат. Собственно, нужно выяснить, с какой погрешностью заданы входные данные, и экспериментально проверить в каких пределах меняется результат при варьировании входных данных в пределах их погрешности.

Зависимость от алгоритма и модели

Есть ещё один источник неадекватности численных результатов, полученных на компьютере. Это неточность выбранной модели и алгоритма вычисления. Здесь всё несколько сложнее, нежели в предыдущих пунктах. Но для богатых заказчиков можно предложить надёжное решение — следует дать одну и ту же задачу нескольким группам прикладных математиков. Они, скорее всего, построят разные модели и будут пользоваться разными алгоритмами. Если все выдадут один и тот же результат, значит задача хорошая — она устойчива к выбору модели и алгоритма, и не так важно каким способом её решать. Конечно, бывают и такие случаи, когда все делают одну и ту же ошибку. У начинающих вычислительных математиков есть несколько таких излюбленных ошибок. Разумеется, если есть возможность сравнить результаты расчета с экспериментальными, то такие сравнения являются поводом для подтверждения верности расчетов. Что же касается исследования численных методов на аппроксимацию — то эта теория достаточно хорошо разработана, однако без вычислительных ошибок численных решений не бывает. Вопрос заключается в том, значительны ли они или незначительны, что, впрочем, также можно оценить.

Интернет ресурсы

  1. http://festival.1september.ru/articles/subjects/1
  2. http://slovo.ws/urok/matematika/
  3. http://hijos.ru/

Масалов Ігор

Личные инструменты
правила на Заповики
Сайт кафедры ИИТО
переход на сайт центра
 
Наша награда.